Calculo diferencial: 2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas

FUNCIONES

FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NÚMEROS NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NÚMEROS REALES: LAS SUCESIONES INFINITAS

Considere un conjunto N, una función f: X  Y de la secuencia de números de N esta es conocida como función de sucesiones. El dominio de tales funciones se limita sólo a los números naturales. Las convenciones utilizadas para referirse a tales secuencias son,

La notación convenida para denotar una función de este tipo sería:

Una secuencia infinita puede ser definida como un conjunto ordenado o una lista de elementos distintos que pueden ser formados como pares teniendo correspondencia uno a uno respecto al conjunto entero positivo. Los elementos son por lo general números. Un conjunto de números naturales es un buen ejemplo de sucesión infinita, N = {0, 1, 2, 3, 4…}.

En términos de la notación matemática, una secuencia puede ser definida como una función sobre F U {0} ya que la función g (x) tiene una asociación uno a uno de F en F U {0}.

La secuencia infinita forma una parte importante de los estudios de la ingeniería y la física moderna. Una secuencia infinita puede estar creciendo, decreciendo, o ser de origen monótona. Una sucesión creciente es aquella donde todos los elementos subsecuentes de la secuencia son mayores que el elemento que estaba ocurriendo antes que ellos en la secuencia, esto es an+1 > an para todos los valores de n.

Una secuencia decreciente infinita es opuesta a la sucesión creciente infinita lo que significa que en el caso de una secuencia decreciente infinita el elemento subsecuente de la secuencia es más pequeño que el elemento que estaba ocurriendo antes que este en la secuencia, esto es un an+1 < an para todos los valores de n.

Mientras que una secuencia infinita monótona puede ser una que esté creciendo o decreciendo.

Otra categoría en la que una secuencia puede ser clasificada está basada en los límites de la secuencia, si estos se encuentran por encima o por debajo. Si existe un número M para el cual an <= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por encima. Mientras que si an >= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por debajo.

También es posible añadir prefijos al nombre de la secuencia basados en los elementos de la secuencia. Si todos los elementos de la secuencia son números enteros, entonces la llamamos secuencia de números enteros. Mientras que si todos los elementos de la secuencia son polinomios la llamamos una secuencia de polinomios y así sucesivamente.

También existen dos vías de secuencias infinitas o secuencia infinita-bi, la cual es una función del conjunto de todos los enteros en otro conjunto.

Supongamos una función f: {1, 2, 3, 4…}  {1, 2, 3, 4…} define una secuencia A donde cada ai = f(i). Tal secuencia se denominaría multiplicativa cuando,

f(xy) = f(x) f(y), para todos los valores de x e y, donde x e y son co-primos.

Una serie es la sumatoria de la suma de todos los elementos de una secuencia. La suma de todos los elementos de una secuencia infinita se denomina serie infinita.