3.2 Límite de una función de variable real.

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Límite de una función de variable real

El límite de una función de variable real es un concepto importante en el cálculo. Según este, si F es la función de una variable real r, en ese caso, el límite de F como r se aproxima a x existe, si existe otro número real  R entonces para un número positivo conocido  , existe otro número delta, tal que | F® - N | ‹ para todo r que satisfaga | r - x | < . 

Esto es,

 y   son letras de Grecia utilizadas tradicionalmente, a las cuales se les llama como descripción de límites épsilon-delta

Puede el caso cuando la función F satisface \ limita_{r\a\x} la definición en una sola dirección en la recta numérica real. Suponga que satisface la existencia de límites desde la izquierda. En ese caso, puede ser representada como

Este caso puede ser leído como ‘la existencia de límites del lado izquierdo’. Del mismo modo, los límites del lado derecho pueden ser demostrados como

Sin embargo, no se puede decir que el límite existe enteramente hasta que ambos límites de lado izquierdo y derecho persistan y se conviertan iguales.

Mientras se resuelve un problema “ límite de una función de variable real “ se debe hacer énfasis principalmente en el cálculo del  rango del límite y no en identificar si el límite existe o no.

El límite de una función de variable real se puede definir en el infinito si la recta numérica es considerada extensible. Si F® es la función, entonces, el límite infinito de F se puede representar como

Existen algunas propiedades que valen la pena considerar mientras se trata con el concepto de límite de la función de variable real F:

1). El límite de F se dice que existe cuando los límites del lado derecho y del lado izquierdo existen para la función correspondiente.

2). Se dice que F es continua en un punto particular A solo si en el caso el límite F( r ) como r se mueve hacia A subsiste y es equivalente a f(A).

3). Si el límite de la función F® como r se mueve hacia A es L1 y el límite de otra función H® como r se mueve hacia A es L2, entonces, el límite de F® + H® como se mueve hacia A es L1 + L2.

4). El límite de F debe ser compatible con las operaciones aritméticas con la condicionante que el límite del lado derecho exista.

La definición y sus propiedades pueden ser más profundamente ilustradas con la ayuda de un ejemplo. Consideremos una función F® =

La función puede ser simplificada como:

       F® = (r + 2) (r - 2) 
                      (r – 2)

   F® = r + 2, r   2

Es decir la línea r + 2 con el punto ( 2, 4 ) son los puntos faltantes.

Se puede observar que r = 2 no se encuentra en el dominio de F y 4 no está en el rango correspondiente. Por lo cual, al poner r cerca del 2, obligará a F hasta el punto (2, 4). Esto es,

De acuerdo a la definición, si un número real es dado, entonces se necesita encontrar otro número , tal que, < . Entonces, este puede ser probado como:

      Si | r −2 | <  

         2+   < r < 2 -  

    2 -   + 2< r + 2 < 2 +   + 2

    4 -   < r + 2 < 4 +  

    4 -  < r + 2 < 4 +   

    |(r + 2) - 4| <  

Límite de una función de variable real (Extraído el 13/nov/2014) en:
http://mitecnologico.com/igestion/Main/LimiteDeUnaFuncionDeVariableReal