2.10 Función implícita.

FUNCIONES

Función Implícita.

Función implícita:

Es una función de la variable independiente, cuando su dependencia con respecto a la variable independiente no se expresa en forma de ecuación ya resuelta (función explicita).\

Así, en 3x-2y= 5, y  es función implícita de x; en la función xy + x= x^3, y es también función implícita de x.

Función explicita:

Es una función de la variable independiente, cuando esta directamente indicadas las operaciones que deben efectuarse con dicha variable para obtener el valor o valores de la función, así, en y=2x-3, y es función explicita de x

apuntes de calculo diferencial. Extraído (19/oct/2014) en http://mate-aprende.mex.tl/imagesnew2/0/0/0/2/1/6/8/7/7/3/CALCULO%20DIFERENCIAL%20TEORIA.pdf

2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas

FUNCIONES

FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NÚMEROS NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NÚMEROS REALES: LAS SUCESIONES INFINITAS

Considere un conjunto N, una función f: X  Y de la secuencia de números de N esta es conocida como función de sucesiones. El dominio de tales funciones se limita sólo a los números naturales. Las convenciones utilizadas para referirse a tales secuencias son,

 

La notación convenida para denotar una función de este tipo sería:

Una secuencia infinita puede ser definida como un conjunto ordenado o una lista de elementos distintos que pueden ser formados como pares teniendo correspondencia uno a uno respecto al conjunto entero positivo. Los elementos son por lo general números. Un conjunto de números naturales es un buen ejemplo de sucesión infinita, N = {0, 1, 2, 3, 4…}.

En términos de la notación matemática, una secuencia puede ser definida como una función sobre F U {0} ya que la función g (x) tiene una asociación uno a uno de F en F U {0}. 

La secuencia infinita forma una parte importante de los estudios de la ingeniería y la física moderna. Una secuencia infinita puede estar creciendo, decreciendo, o ser de origen monótona. Una sucesión creciente es aquella donde todos los  elementos subsecuentes de la secuencia son mayores que el elemento que estaba ocurriendo antes que ellos en la secuencia, esto es an+1 > an para todos los valores de n.

Una secuencia decreciente infinita es opuesta a la sucesión creciente infinita lo que significa que en el caso de una secuencia decreciente infinita el elemento subsecuente de la secuencia es más pequeño que el elemento que estaba ocurriendo antes que este en la secuencia, esto es un an+1 < an para todos los valores de n.

Mientras que una secuencia infinita monótona puede ser una que esté creciendo o decreciendo.

Otra categoría en la que una secuencia puede ser clasificada está basada en los límites de la secuencia, si estos se encuentran por encima o por debajo. Si existe un número M para el cual an <= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por encima. Mientras que si an >= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por debajo.

También es posible añadir prefijos al nombre de la secuencia basados en los elementos de la secuencia. Si todos los elementos de la secuencia son números enteros, entonces la llamamos secuencia de números enteros. Mientras que si todos los elementos de la secuencia son polinomios la llamamos una secuencia de polinomios y así sucesivamente.

También existen dos vías de secuencias infinitas o secuencia infinita-bi, la cual es una función del conjunto de todos los enteros en otro conjunto.

Supongamos una función f: {1, 2, 3, 4…}  {1, 2, 3, 4…} define una secuencia A donde cada ai = f(i). Tal secuencia se denominaría multiplicativa cuando,

f(xy) = f(x) f(y), para todos los valores de x e y, donde x e y son co-primos.

Una serie es la sumatoria de la suma de todos los elementos de una secuencia. La suma de todos los elementos de una secuencia infinita se denomina serie infinita.

Que también puede ser denotado por

Funciones Con Dominio En Los Numeros Naturales Y Recorrido En Los Numeros Reales Las Sucesiones Infinitas. Extraído en (19/oct/2014) en:

.http://mitecnologico.com/igestion/Main/FuncionesConDominioEnLosNumerosNaturalesYRecorridoEnLosNumerosRealesLasSucesionesInfinitas#sthash.lC3ILedg.dpuf

2.8 Función inversa, función logarítmica, funciones trigonométricas inversas

FUNCIONES

FUNCIÓN INVERSA, FUNCIÓN LOGARÍTMICA, FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.

Función inversa:

Son dos funciones tales que a todo punto de la gráfica 

de la primera función corresponde un punto de la gráfica de la segunda, de tal 

manera que la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del 

punto correspondiente de la otra y viceversa; es decir, a todo punto de la primera 

curva corresponde, en la segunda, otro punto simétrico con respecto a la bisectriz 

del ángulo XOY

Función logarítmica:

Es aquella que está afectada por un logaritmo; como: log10 x Puede decirse también que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial. y=a^x  y y=loga x

Funciones trigonométricas inversas:

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco,

y= sen x, y es igual al seno de x, la función inversa x= arc sen y,  es el arco

cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

apuntes de calculo diferencial. Extraído (19/0ct/2014) en http://mate-aprende.mex.tl/imagesnew2/0/0/0/2/1/6/8/7/7/3/CALCULO%20DIFERENCIAL%20TEORIA.pdf

 

2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición

FUNCIONES

OPERACIONES CON FUNCIONES: ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN, COMPOSICIÓN.

Adición:

Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g.

La suma de las dos funciones producirán una sola función como:


ejemplo:

Por ejemplo, considere las dos funciones siguientes,
 g(x) = x2 + 2 y,
 f(x) = 4x – 1

Las dos funciones se pueden sumar como (g + f) (x) = (x2 + 2) + (4x – 1) = x2 + 4x + 1

Multiplicación:

Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama multiplicación o producto de una función de f y g, y se define por:

[f(x)] [g(x)]

ejemplo:

Tomemos como ejemplo la multiplicación de dos funciones,

 g(x) = 3 √x y

, f(x) = √x 

entonces, (g . f) (x) = (3 √x) . (√x)

Composición:

Dos funciones se juntan para producir un resultado, por ejemplo: f actué sobre 'x' para producir f(x) y luego g actué sobre f(x) o también llamada función composición que se representa g(f(x)).

La composición de dos funciones se denota como:

 ejemplo, 

g(x) = 2x + 3 

f(x) = -x2 + 5

 g(f(x)) = g(-x2 + 5) 

= 2(-x2 + 5) + 3

 = −2×2 + 10 + 3 

= −2×2 + 13

operaciones con funciones. Extraído (19/oct/2014) en

http://www.clubensayos.com/Temas-Variados/27-Operaciones-Con-Funciones-Adici%C3%B3n/2013856.html

y en 

http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/OperacionesConFuncionesFuncionAdicionFuncionMultiplicacionFuncionComposicion

2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. Función valor absoluto

FUNCIONES

FUNCIÓN DEFINIDA POR MAS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA.  FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO.

Función a trozos es un nombre más general para una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia.

Una función f: X → Y es llamada una función a trozos si puede ser definida con la ayuda de varias funciones lineales.

Podemos decir que tal función está definida en una serie de intervalos múltiples.

La notación general para definir una función a trozos es la siguiente:

Como se muestra en el ejemplo, punto y coma o comas se utilizan al final de la columna.

Sin embargo, algunos los autores prefieren usar palabras como “si” o “para” en la columna derecha, y la palabra “ de lo contrario” también se puede utilizar para indicar el caso por defecto.

La gráfica de esta función también se divide en trozos, dependiendo del número de ecuaciones que se utilicen para definir la función.

Tal función es llamada de esta forma porque la definición de esta función cambia dependiendo del valor de la variable de entrada.

Aquí el uso de la palabra “a trozos” se hace para describir la propiedad de esa función, que es válida para una ecuación / pieza de la función pero no en todo el dominio de la función.

La función a trozos tiene una serie de funciones en su cuerpo, el dominio de cada una de ellas se define por separado.

Función valor absoluto:

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuanta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

D = 

2. 

D =

función definida por mas de una regla de correspondencia. función valor absoluto. Extraído (18/oct/214) en http://mitecnologico.com/igestion/Main/FuncionDefinidaPorMasDeUnaReglaDeCorrespondencia y en http://www.vitutor.com/fun/2/c_12.html

2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales

FUNCIONES 

FUNCIONES TRASCENDENTES: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES EXPONENCIALES.

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

funciones trigonométricas:

La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

f(x) = sen x

f(x) = cosen x

f(x) = tg x

f(x) = cosec x

f(x) = sec x

f(x) = cotg x

Función exponencial:

Sea a un numero real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.

ditutor. funciones trascendentes. Extraído (18/oct/2014) en 
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_trascendente.html

2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional

FUNCIONES

FUNCIONES ALGEBRAICAS: FUNCIÓN POLINOMIAL, RACIONAL E IRRACIONAL.

Función polinomial:

Una función polinomial es una función en que f(x) es un polinomio en x.

Una función polinomial de grado n es escrita como 

Las funciones polinomiales están definidas y son continuas en todos los números reales.

POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE	FORMA	GRADO
Función constante	f(x) = a	0
Función lineal	f(x) = ax + b, a ≠ 0	1
Función cuadrática	f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0	2
Función cúbica	f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0	3
Función cuártica	f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, a ≠ 0	4

Función racional:

En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:


donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen sudominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador. Obviamente esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinimios de varias variables



Función irracional:

Una función irracional es una función en cuya expresión analítica la variable dependiente x aparece debajo del símbolo de raíz.

En este apartado consideraremos únicamente funciones irracionales del tipo

f(x)=g(x)−−−−√n

con g(x) una función racional.

• Si el índice n de la raíz es impar, es posible calcular la imagen de cualquier número real, siempre y cuando la expresión g(x) sea un número real, es decir, Dom(f)=Dom(g).
• Si el índice n de la raíz es par, para poder calcular imágenes necesitamos que g(x) sea positiva o cero, ya que las raíces pares de un número negativo no son números reales. Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuación g(x)≥0. En otras palabras, Dom(f)={x∈R∣g(x)≥0}.

Estudiemos ahora el caso más simple de función irracional: la función raíz cuadrada f(x)=x√.

Se trata de una función en que el índice de la raíz es 2. Por tanto, su dominio es el conjunto de soluciones de la inecuación x≥0. Así tenemos Dom(f)=[0,+∞) La imagen de la función raíz cuadrada es, como en el caso del dominio, el conjunto de los reales mayores o igual que cero, Im(f)=[0,+∞)

función polinomial. Extraído (18/oct/2014) en http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/polynomial-function.html

función racional. Extraído (18/oct/2014) en http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/polynomial-function.html

función irracional. Extraído (18/oct/2014) en http://www.sangakoo.com/es/temas/funciones-irracionales